Naveda, te replico, quiza son innecesarias pero le sirven y almenos comprueba las variables que eso es de lo que se trata
En realidad... no hay diferencia. Pero siempre resulta más cómodo trabajar con $variable que con $_POST['variable']

Por cierto:
$usuario="$_POST['nick']"; /* Cambiamos el nick enviado por la variable $usuario */
$contraseña="$_POST['pass']"; /* Cambiamos la contraseña enviada por la variable $pass*/
En el momento que estás poniendo comillas, es como si le estuvieses dando un texto. Como si en vez de decirle que
Usuario es
tiburon, le estuvieses diciendo que
Usuario es
$_POST['usuario'], asi tal como está escrito.
Si usas variables, nada de comillas:
$usuario=$_POST['nick']; /* Cambiamos el nick enviado por la variable $usuario */
$contraseña=$_POST['pass']; /* Cambiamos la contraseña enviada por la variable $pass*/
Por otra parte... ¿qué pasa si accedo a menu.php directamente? El formulario para el usuario y contraseña pierde todo su sentido. Tendrás que buscar medios para conseguir que la página con el código que estás haciendo sea
realmente restringida.

Suerte y ánimo a seguir con ello.