Bueno, primero que nada debemos saber como hacer una variable constante, las variables constantes se hacen poniendo el prefijo const, ejemplo:

class PHPeros {
const nombre;
}

Si se fijan en el ejemplo anterior, cuando vamos hacer la variable constante no se pone el $.

Las variables constantes no se llaman como las normales, sino que se llaman como las estaticas (Si leyerón el tuto sabran), ejemplo:

PHPeros::nombre; (si estamos afuera de la clase)
self::nombre; (Si estamos adentro de la clase)

Bueno, esto fue todo, he explicado lo mejor que pude & espero que puedan aprender algo sobre las clases constantes.

Supongamos que quieres mostrar una variable afuera de la clase pero no quieres instancear la clase, pues puedes ponerla constante & mostrarla así: miClase::constante

A ese le veo una mala utilidad, de acuerdo a tu último ejemplo Focux.

Esto de andar usando funciones y métodos sin instanciar clase y cosas así, siento que se están yendo fuera del concepto general de lo que es una POO.

En programación estructurada, como designarías una constante?

Sólo es un ejemplo, no es que se le da ese uso, los métodos que se podrían poner sin instancear son métodos que deberas estar utilizando a cada momento, por ejemplo una clase para hacer consultar o una conexión a la bd de datos, tambien cave recalcar que si quieren no estar instanceando pero no quieren usar clases estaticas, lo mejor sería serializar la instancea.

Las clases y metodos constantes se suelen usar para clases que no necesitan instanciarse.
Un ejemplo es la clase Math de Java, es una clase pero no se instancia porque solo hace operaciones matemáticas, y hacer un objeto para cada operación no es lógico.

Saludos

Tambien para que no se confunda una diferencia entre las variables estaticas & las constantes es que las constantes son inmodificables.

Lee arriba, lo explique.

Puedes hacerlo de esta manera
const pi = 3.1416;

Es que sí, de esta manera, el conjunto de métodos de dicha clase formaría también lo conocido como "librería"... O sea que de esta manera, se hace mucho más factible meter en un archivo un conjunto de funciones sin clase ni nada, y luego le hacemos un require_once() en nuestro documento y llamamos la función y ya...

El punto de POO es hacer el código reutilizable para así ayudar al programador & disminuir los altos costos de programación