cuando cierras el navegador la sesion se elimina automaticamente del servidor!!
Yo creo que aqui se esta referiendo a la sesión de la web, y no a session con referente a guardar los datos, no se si me explico.
De todas formas, ya sabiendo que las sessions se eliminan automáticamente al cerrar el navegador, conoces alguna forma de lanzar una función X cuando esta se elimine, o algún mecanismo para saber si esta se a eliminado? (Es decir, el usuario ha cerrado el navegador)
Si esto se pudiera hacer tendrías el método perfecto para contar el tiempo total en línea, pero si no, me temo que la otra opción que se me ocurre es simplemente contarlo por Logueado - Deslogueado, es decir, anotas la hora cuando pulse el botón de loguear, y cuando pulse el botón de desconectarse le restas a la hora actual, la hora que anotaste y le sumas el resultado a la variable tiempo_conectado (por llamarla de alguna forma)
Pero ten en cuenta que, de este modo, si cierra el navegador, o cambia de web sin pulsar el botón de desconectar, el tiempo seguirá contando.
Saludos